클로드가 리만 제타 영점 하한을 41.6%에서 67.2%로 올렸다: 앤스로픽이 2026년 8월 10일 공개한 증명

앤스로픽은 2026년 8월 10일 미공개 연구용 클로드가 리만 가설을 만족하는 리만 제타 함수 영점의 비율 하한을 41.6%에서 67.2%로 끌어올렸다고 발표했다. 클로드는 클로드 코드(Claude Code)에서 두 번의 세션 동안 출력 토큰 3,100만 개를 써서 이 결과에 도달했고, 앤스로픽 소속 수학자 레벤트 알푀게(Levent Alpöge)와 랄프 퍼먼(Ralph Furman)이 논문을 검증했으며 외부 전문가 브라이언 콘리(Brian Conrey)와 댄 골드스턴(Dan Goldston)이 이를 검토했다. 결과는 린(Lean)으로 형식화돼 표준 검증 도구 comparator를 통과했다. ASAP은 앤스로픽 공식 발표와 함께 공개된 증명 노트를 1차 출처로 무엇이 증명됐고 무엇은 증명되지 않았는지를 구분해 정리한다.

1859년 이후 움직이지 않은 것은 가설이고, 움직인 것은 비율이다

리만 가설은 1859년 제기된 이후 지금까지 풀리지 않았고, 이번에 바뀐 것은 가설의 참거짓이 아니라 가설을 만족하는 영점이 최소 얼마나 되는지에 대한 하한이다. 리만 제타 함수의 비자명한 영점이 모두 임계선 위에 있다는 것이 리만 가설의 주장이며, 수학자들은 이를 통째로 증명하는 대신 임계선 위에 있다고 확실히 말할 수 있는 영점의 비율을 조금씩 끌어올려 왔다. 앤스로픽은 수십 년에 걸친 이 축적의 결과로 알려진 비율이 41.6%까지 올라와 있었다고 설명했다.

클로드가 내놓은 정리는 이 비율을 67.2%로 올린다. 함께 공개된 증명 노트에 적힌 상수는 3/2에서 √2분의 1의 코탄젠트 값을 뺀 값이며, 이를 계산하면 67.25%가 된다. 노트의 첫 줄은 이 결과를 "영점의 67%가 임계선 위에 있다"는 한 문장으로 요약한다. 즉 임계선 밖에 있을 수 있는 영점은 이제 3분의 1 미만으로 좁혀졌다는 뜻이다.

증명이 딛고 선 토대도 명시돼 있다. 앤스로픽은 클로드의 접근이 발루요트(Baluyot), 골드스턴, 수리아자야(Suriajaya), 터니지버터바우(Turnage-Butterbaugh)의 최근 연구를 출발점으로 삼고 여기에 봄비에리(Bombieri)의 2000년 논문과 몽고메리(Montgomery)의 1973년 기법을 결합한 것이라고 밝혔다. 백지에서 나온 결과가 아니라 기존 연구 계보 위에 얹힌 한 칸이라는 점이 발표문에 분명하게 적혀 있다.

650개의 실패와 서브에이전트 60개가 만든 하루 반

작업 과정의 숫자는 성공보다 실패 쪽이 더 많다. 클로드는 초기 단계에서 아이디어 650개를 만들어 시도했고, 앤스로픽에 따르면 그중 어느 것도 통하지 않았다. 방향이 바뀐 것은 그다음이다. 후속 단계에서 약 60개의 클로드 서브에이전트가 하루 반 동안 조율하며 셸 명령 2,400회와 수백 개의 파이썬 스크립트를 실행했다.

검증도 같은 방식으로 병렬화됐다. 클로드는 이미 알려진 제타 영점과 수치를 대조했고, arXiv를 검색해 논문 54편을 내려받아 대조했으며, 반례를 찾는 탐색과 독립적인 재증명을 함께 돌렸다. 두 세션에서 쓴 출력 토큰은 모두 3,100만 개다.

이 숫자들이 말하는 것은 증명의 우아함이 아니라 탐색의 비용 구조다. 아이디어 650개가 전부 실패한 뒤에도 탐색을 이어갈 수 있는 것은 한 사람의 연구 시간으로는 감당하기 어려운 조건이며, 실패를 대량으로 소비하는 방식이 여기서는 작동했다. 동시에 이 구조는 결과가 나오기 전까지 무엇이 낭비였는지 알 수 없다는 점도 함께 보여준다. 3,100만 토큰 중 대부분은 최종 증명에 한 줄도 남기지 않았다.

사람이 넣은 입력은 "계속해 봐"였다

이번 사례에서 사람의 개입 수준은 이례적으로 낮게 기록됐다. 앤스로픽 직원 재러드 서머(Jarred Sumner)는 수학자가 아니며, 클로드에게 리만 가설 자체에 "제대로 한번 달려들어 보라"고 요청한 뒤 수학적 선택은 모델에게 맡겼다. 앤스로픽은 그 이후 서머가 넣은 입력이 대체로 격려 메시지였고 "계속해 봐"나 "스스로를 믿어 봐"의 변형이 대부분이었다고 적었다.

수학 전문성이 들어온 지점은 생성이 아니라 검토였다. 앤스로픽 소속 수학자 2명이 클로드의 논문을 연구해 검증했고, 이 분야 전문가인 콘리와 골드스턴이 촉박한 일정에도 논문을 살펴봤다. 형식화는 또 다른 직원 에릭 이즐리(Eric Easley)와 함께 진행돼 린 증명이 표준 검증 도구를 통과했다.

역할 분담의 모양을 그대로 읽으면 이렇다. 문제 선택과 격려는 비전문가가, 탐색과 증명 작성은 모델이, 검증은 전문가와 기계가 맡았다. 수학 연구에서 사람이 반드시 쥐고 있어야 한다고 여겨져 온 부분이 어디였는지를 다시 묻게 만드는 배치다.

검증 스택이 결과 자체보다 중요한 이유

AI가 만든 수학 결과에서 병목은 생성이 아니라 검증에 있다. 그럴듯한 문장으로 이어진 증명은 언어 모델이 얼마든지 만들어낼 수 있고, 전문가가 한 편을 제대로 읽는 데 걸리는 시간은 모델이 한 편을 쓰는 시간보다 훨씬 길다. 생성 속도가 검증 속도를 앞지르는 순간 결과의 신뢰도는 생성 능력이 아니라 검증 처리량에 걸린다.

이번 발표가 앞선 사례들과 구분되는 지점이 여기다. 앤스로픽은 세 겹의 검증을 함께 붙였다. 사람이 읽는 층에는 소속 수학자 2명과 외부 전문가 2명이 있고, 기계가 읽는 층에는 표준 도구를 통과한 린 형식화가 있으며, 모델 스스로 돌린 층에는 기존 영점과의 수치 대조와 반례 탐색과 독립 재증명이 있다. 형식화가 통과했다는 사실은 특히 결정적인데, 린은 논증의 설득력이 아니라 논리적 완결성만 본다.

다만 이 스택을 만능으로 볼 이유도 없다. 린 형식화가 통과했다는 것은 형식화된 명제가 형식화된 전제에서 따라 나온다는 뜻이지, 형식화된 명제가 발표문이 주장하는 그 명제와 같다는 것까지 자동으로 보증하지는 않는다. 이 대응은 여전히 사람이 확인해야 하는 부분이며, 앤스로픽이 린 저장소와 증명 노트를 함께 공개한 이유도 그 확인을 외부에 열어두기 위한 것으로 볼 수 있다.

25.6%포인트를 읽는 두 가지 방식

숫자만 보면 이번 개선폭은 이 분야의 통상적인 진전보다 크다. 41.6%에서 67.2%로 25.6%포인트가 올랐고, 이는 수십 년간 쌓인 기존 하한을 절반 이상 늘린 수치다. 소수점 아래를 다투는 개선이 논문 한 편이 되는 영역에서 이 폭은 그 자체로 눈에 띈다.

그러나 이 수치가 무엇의 하한인지를 놓치면 과대 해석이 된다. 67.2%는 임계선 위에 있다고 증명된 영점의 비율이지 리만 가설이 67.2%만큼 참이라는 뜻이 아니다. 가설은 100%를 요구하며, 남은 32.8%는 여전히 열려 있다. 앤스로픽 자신도 클로드가 사용한 기법이 리만 가설 증명으로 이어질 것으로 기대하지 않는다고 못 박았다. 결과를 발표한 쪽이 스스로 상한선을 그은 셈이며, 이 문장은 인용될 때 함께 붙어야 한다.

한 가지 더 구분할 것은 난이도의 종류다. 이 결과는 기존 연구 계보 위에서 상수를 개선하는 문제였고, 성공 여부를 수치로 판정할 수 있으며, 부분 성과가 축적되는 구조였다. 탐색을 대량으로 밀어붙이는 방식이 잘 맞는 조건이 갖춰져 있었다는 뜻이다. 판정 기준이 명확하지 않거나 새로운 개념을 세워야 하는 문제에서도 같은 방식이 통할지는 이 사례 하나로 알 수 없다.

국내 조직이 가져갈 수 있는 것은 수학이 아니라 작업 구조

실무 관점에서 이 사례의 이전 가능한 부분은 제타 함수가 아니라 작업 배치다. 세 가지가 함께 있었다. 첫째, 성공과 실패를 기계가 판정할 수 있는 문제였다. 둘째, 실패를 650회 감당할 수 있는 병렬 탐색 구조가 있었다. 셋째, 최종 산출물을 사람의 판단에 의존하지 않고 검증하는 층이 있었다.

국내 조직이 에이전트에 긴 과제를 맡길 때 대개 빠지는 것은 세 번째다. 서브에이전트를 늘려 탐색을 넓히는 부분은 도구가 이미 지원하지만, 결과가 맞는지 확인하는 일은 여전히 사람이 눈으로 읽는 방식에 머무는 경우가 많다. 그 상태에서 탐색만 늘리면 검토 대기열만 길어진다. 코드에서는 테스트와 타입 검사가, 데이터 작업에서는 재계산과 교차 대조가 린 형식화에 해당하는 자리를 맡는다.

문제 선택의 기준도 바뀐다. 이번 사례에서 사람이 실제로 결정한 것은 어떤 문제에 달려들지였고, 그 뒤로는 판정 가능한 지표가 방향을 대신했다. 에이전트에 맡길 과제를 고를 때 먼저 물어야 할 것이 난이도가 아니라 판정 가능성이라는 함의가 여기서 나온다.

남는 질문: 재현할 수 없는 모델과 검토의 범위

앤스로픽은 2026년 8월 10일 결과를 공개하면서 하한을 끌어올린 모델 자체는 공개하지 않았고, 이것이 이번 발표의 가장 큰 공백이다. 하한을 끌어올린 것은 미공개 연구용 클로드이며, 외부 연구자가 같은 과정을 되짚어 재현할 방법은 현재 없다. 앤스로픽은 클로드의 논문과 비공식 노트, 설명과 부록, 상세 트랜스크립트, 린 형식화 저장소를 함께 공개했으므로 결과물에 대한 검증은 열려 있지만, 과정의 재현은 열려 있지 않다.

검토의 범위도 명확히 해둘 필요가 있다. 외부 전문가 2명은 촉박한 일정에 논문을 살펴봤다고 기술돼 있으며, 이는 학술지 동료 심사와 같은 절차가 아니다. 수학계의 통상적인 확인은 발표 이후 여러 연구자가 시간을 들여 읽는 과정에서 이뤄지고, 이번 결과의 최종적인 위치도 앞으로 몇 달간의 그 과정에서 정해진다. 린 형식화가 통과했다는 사실이 이 검토를 상당 부분 대체하지만, 형식화된 명제와 발표문의 명제가 일치하는지에 대한 확인은 여전히 사람의 몫이다.

마지막으로 남는 것은 이 사례가 얼마나 일반화되는가다. 한 번의 성공은 성공률을 알려주지 않으며, 같은 모델이 다른 미해결 문제에 같은 방식으로 달려들었을 때 몇 번 만에 결과를 냈는지는 공개되지 않았다. 아이디어 650개가 실패했다는 기록이 남아 있다는 점은 오히려 이 방식의 성공률이 낮다는 쪽을 시사한다. 다음 지표는 두 번째 사례이며, 그것이 나오기 전까지 이번 결과는 재현 횟수 1회의 사건으로 다루는 편이 정확하다.

출처: 앤스로픽 공식 발표 "Learning more about Claude's mathematical capabilities"(2026년 8월 10일)와 함께 공개된 증명 노트 기반 ASAP 정리