오픈AI가 소수 사이 간격 상한을 246에서 186으로 낮췄다: 두 논문 모두 증명의 저자를 GPT-6 아스트라로 적었다

오픈AI는 2026년 9월 3일 GPT-6 아스트라(GPT-6 Astra) 발표문에서 소수 간격에 관한 새 결과 두 건을 함께 공개했다. 첫 번째는 이웃한 두 소수의 간격이 무한히 자주 186 이하로 좁혀진다는 것으로, 10년 넘게 최선이던 246을 끌어내렸다. 두 번째는 반대편 극단인 소수가 크게 벌어지는 구간에 관한 것으로, 랭킨(Rankin)의 고전적 하한을 log₂X배만큼 키웠다. 두 논문의 초록에는 같은 문장이 들어 있다. "이 증명은 GPT 6 아스트라의 것이다(The proof is due to GPT 6 Astra)." ASAP은 오픈AI가 공개한 논문 원문과 깃허브 저장소를 1차 출처로 삼아 무엇이 실제로 증명됐고 두 결과의 검증 강도가 어떻게 갈리는지 정리한다.

246에서 186으로 내려온 자리에는 십수 년치 계보가 있다

논문 '개선된 소수 사이 짧은 간격(Improved short gaps between primes)'은 2026년 8월 30일 자로 작성됐고 저자란에는 오픈AI가 적혀 있다. 이 논문이 증명한 것은 lim inf(pₙ₊₁ − pₙ) ≤ 186이며, 여기서 pₙ은 n번째 소수다. 쌍둥이 소수 추측은 같은 값이 2라고 주장하므로, 이번 결과는 추측의 증명이 아니라 상한을 한 칸 더 내린 것이다.

논문이 스스로 정리한 계보는 다음과 같다. 골드스턴, 핀츠, 일디림(Goldston, Pintz, Yıldırım)이 (pₙ₊₁ − pₙ)/log pₙ의 하극한이 0임을 보였고, 장이탕(Zhang)이 그 체 방법 위에서 최초의 무조건적 상한인 7,000만 미만을 증명했다. 폴리매스 8a가 분포 추정을 강화하고 체를 다듬어 4,680으로 줄였다. 메이너드(Maynard)의 다차원 셀베르그 체는 타오(Tao)가 독립적으로 개발한 것과 함께 봄비에리-비노그라도프 정리만으로 600을 얻었고, 폴리매스 8b가 246까지 내렸다. 오픈AI 발표문 각주는 율리아 슈타틀만(Julia Stadlmann)이 최근 이 값을 240으로 개선했다고 밝혔고, 논문 본문도 슈타틀만의 독립적 동시 연구가 240을 증명한다고 적었다.

186이라는 숫자가 나오는 방식도 논문에 그대로 적혀 있다. 핵심 정리는 DHL[40, 2]이 성립한다는 것이고, 이는 원소가 40개인 모든 허용 집합(admissible set)이 소수를 둘 이상 담는 평행이동을 무한히 많이 가진다는 주장이다. 논문은 0부터 186까지 40개 정수로 이뤄진 구체적인 허용 집합을 제시했고, 그 집합의 지름이 186이므로 상한도 186이 된다. 기술적 개선은 폴리매스 8a와 슈타틀만의 균등분포 추정에 보완적 인수분해 조건을 결합해 특정 곱들을 삼중 조밀 가분(triply densely divisible)으로 만든 데서 나왔다. 그 결과 다차원 셀베르그 체의 지지집합을 넓힐 수 있었고 수치 최적화도 개선됐다.

두 번째 결과는 소수가 가장 크게 벌어지는 쪽을 건드렸다

논문 '개선된 소수 사이 긴 간격(Improved long gaps between primes)'이 다루는 대상은 정반대 극단이다. X 이하의 이웃한 소수 사이 최대 간격을 G(X)라 할 때, 이 논문은 충분히 큰 모든 X에 대해 G(X)가 log X(log₂X)²log₄X/(log₃X)² 이상임을 증명했다. 여기서 logⱼ는 로그를 j번 반복 적용한 값이다.

이쪽 계보도 오래됐다. 베스트진티우스(Westzynthius)가 G(X)/log X가 무한대로 발산함을 처음 보였고, 에르되시(Erdős)가 log X log₂X/(log₃X)²를 얻었으며, 랭킨(Rankin)이 여기에 log₄X를 곱한 형태로 개선했다. 에르되시는 랭킨의 추정을 개선하는 일의 어려움을 따로 논했고 나중에는 그 상수를 임의로 크게 만들 수 있는지 물으며 1만 달러의 상금을 걸었다. 이 문제는 메이너드와 포드, 그린, 코냐긴, 타오가 각각 독립적으로 해결했고 이들의 후속 공동 연구가 정량적 한계를 제시했다. 이번 논문의 정리 1.1은 랭킨의 추정을 log₂X배만큼 개선한다. 오픈AI 발표문 각주는 이 대목을 "80년 넘게 그대로였던 항을 아스트라가 개선했다"고 요약했다.

논문의 참고문헌에는 눈에 띄는 항목이 하나 더 있다. 13번 항목의 저자가 GPT 5.6 솔(GPT 5.6 Sol)이고, 제목은 '긴 소수 없는 구간을 위한 기울어진 잉여류 구성'이며, 에르되시 문제 4번 페이지에 올라간 프리프린트로 표기돼 있다. 이번 결과는 그 논증이 준 하한을 이어받은 자리에 놓여 있다. 모델이 만든 결과를 다음 모델이 인용하는 사슬이 참고문헌 목록 안에서 이미 형식을 갖췄다는 뜻이다.

초록에 "증명은 GPT 6 아스트라의 것"이라고 적혀 있다

두 논문의 저자란에는 모두 기관명 오픈AI만 적혀 있고, 초록 마지막 문장에서 증명의 귀속을 모델에게 명시적으로 넘긴다. 이 표기 방식은 흔한 감사의 말이나 도구 사용 고지와 성격이 다르다. 논문에서 저자와 증명자를 분리해 적고, 증명자 자리에 제품명을 넣은 형태이기 때문이다.

이 선택을 회사에 유리한 홍보로만 읽으면 놓치는 부분이 있다. 저자가 기관으로 남아 있는 이상 오류에 대한 책임은 오픈AI가 진다. 반대로 증명의 창의적 기여를 기관이 아니라 모델에 귀속시키면, 통상적인 학술 저자성 기준에서 이 결과의 인간 저자는 아무도 없게 된다. 수학계가 이 형식을 받아들일지 여부는 결과의 참거짓과 무관한 별개의 문제이며, 이번 두 논문은 그 질문을 회피하지 않고 문서 형식으로 제기한 셈이다. 앤트로픽이 페르마의 마지막 정리 형식화에서 새로운 수학이 아니라 검증이 새롭다고 스스로 선을 그은 것과 비교하면, 오픈AI의 이번 표기는 정반대 방향으로 한 칸 더 나아갔다.

같은 발표에 실린 두 린 형식화는 보증 범위가 다르다

발표문은 두 결과 모두에 대해 증명과 축약된 사고 연쇄, 검증 자료를 공개한다고 적었지만, 두 형식화가 보증하는 범위는 같지 않다. 짧은 간격 논문은 정리 1.1의 린 4 형식화가 조건부라고 명시한다. 수치 적분과 캡 한계, 그리고 유한체 위 리만 가설에 관한 들리뉴(Deligne)의 결과에서 나오는 유한체 지수합 추정에 조건이 걸려 있다. 깃허브 저장소 openai/PrimeGaps186에는 이 형식화 파일과 함께, 보조정리 A.4의 정확한 지수합 한계가 명시적 가정으로 진술돼 있고, 수치 한계를 검증하는 파이썬-FLINT 프로그램과 계수표, 구간 알고리즘, 전체 검증 기록을 담은 별도 수치 증명서 PDF가 함께 들어 있다. 반면 긴 간격 논문은 저장소 openai/LongGapsBetweenPrimes에 정리 1.1의 완전한 린 증명을 포함했다고 적었다.

이 차이는 사소하지 않다. 조건부 형식화에서 린 컴파일러가 통과시킨 것은 "가정 목록이 참이면 결론이 참"이라는 함의다. 가정 자체의 참거짓은 컴파일러 바깥에 있고, 이번 경우 그 가정은 들리뉴의 정리라는 견고한 결과와 수치 계산이라는 서로 다른 두 종류의 근거에 기대 있다. 따라서 "AI 증명이 기계 검증됐다"는 한 문장은 두 논문에서 서로 다른 것을 가리킨다. 긴 간격 쪽은 문장 그대로 읽어도 되고, 짧은 간격 쪽은 가정 목록을 함께 읽어야 한다. 두 저장소는 모두 아파치 2.0 라이선스로 2026년 9월 2일에 생성됐으며, 2026년 9월 8일 기준 별 수는 각각 146개와 35개다. 형식화 파일과 가정 목록이 공개돼 있으므로 이 구분은 누구나 직접 확인할 수 있다.

논문이 인용한 입력값을 보면 단독 돌파라는 요약은 성립하지 않는다

이번 결과를 "AI가 홀로 오래된 난제를 풀었다"로 줄이는 요약은 논문 본문과 어긋난다. 짧은 간격 논문이 밝힌 개선의 재료는 폴리매스 8a와 슈타틀만의 균등분포 추정이고, 새로 얹은 것은 인수분해 조건과 체 지지집합의 확장, 그리고 수치 최적화다. 즉 기존 기계 위에 부품을 갈아 끼워 성능을 끌어올린 형태에 가깝다. 긴 간격 논문 역시 에르되시와 랭킨의 구성, 메이너드와 포드-그린-코냐긴-타오의 해법, 그리고 GPT-5.6 솔의 프리프린트를 차례로 딛고 서 있다.

같은 시기에 슈타틀만이 독립적으로 240을 증명했다는 사실도 함께 읽을 필요가 있다. 사람 연구자가 246에서 240으로 내려간 구간과, 모델이 240 아래로 186까지 내려간 구간이 같은 계절에 겹쳐 있다는 뜻이다. 여기서 도출할 수 있는 것은 인간 대 기계의 승패가 아니라 병목의 이동이다. 이 계보에서 지난 십수 년간 진전을 좌우한 것은 아이디어의 유무보다 방대한 조합 최적화와 사례 분석을 끝까지 밀어붙일 수 있는가였고, 그 부분이 바로 대규모 모델이 값싸게 감당하기 시작한 영역이다.

186과 2 사이에는 여전히 184가 남아 있다

숫자의 크기를 정확히 가늠하는 편이 좋다. 쌍둥이 소수 추측이 주장하는 값은 2이고 이번 상한은 186이므로, 남은 거리는 93배다. 게다가 지금까지의 개선은 대부분 같은 체 방법의 틀 안에서 상수를 깎아 온 과정이었고, 186 역시 그 틀 안의 값이다. 다차원 셀베르그 체가 봄비에리-비노그라도프 범위 안에서 도달할 수 있는 한계가 있다는 점은 이 분야에서 오래 지적돼 온 사실이며, 이번 논문도 그 범위를 넘어서는 균등분포 추정을 끌어와 지지집합을 넓히는 방식으로 값을 낮췄다.

그래서 이번 결과가 쌍둥이 소수 추측의 해결에 얼마나 가까운지는 숫자만으로 답할 수 없다. 246에서 186으로의 이동은 방법론적 전환이 아니라 같은 방법의 정교화이며, 2에 도달하려면 다른 종류의 아이디어가 필요하다는 것이 이 계보가 지금까지 보여 준 패턴이다. 반대로 말하면 정교화의 속도가 갑자기 빨라진 것 자체가 이번 발표의 실질적 내용이다. 상수 개선의 단가가 내려가면, 어떤 상수를 깎을 가치가 있는지 고르는 판단이 상대적으로 더 비싸진다.

한국 연구실과 개발팀이 이번 주에 실제로 열어 볼 것

이번 발표에서 국내 조직이 곧바로 활용할 수 있는 자산은 논증이 아니라 검증 자료다. 두 깃허브 저장소가 아파치 2.0으로 열려 있으므로, 린 4 파일을 내려받아 컴파일하고 가정 목록이 어디까지인지 직접 확인할 수 있다. 특히 짧은 간격 저장소는 명시적 가정으로 분리된 보조정리와 수치 검증 프로그램이 한 저장소 안에 함께 들어 있어, 조건부 형식화를 어떻게 문서화하는지 보여 주는 실물 사례에 해당한다.

여기서 가져갈 작업 설계는 단순하다. 모델이 만든 결과물을 받아들일 때 검증 산출물의 종류를 먼저 확인하는 습관이다. 완전 형식화인지 조건부 형식화인지, 조건부라면 가정이 명시적으로 진술돼 있는지, 수치 부분을 재현할 프로그램이 함께 있는지가 그 목록이다. 이 세 가지는 수학 논문에만 적용되는 기준이 아니라 검사기가 존재하는 모든 작업, 예컨대 타입 검사와 테스트가 촘촘한 코드베이스나 제약 조건이 명시된 데이터 변환에도 그대로 옮겨 온다. 반대로 판정 기준이 사람의 판단에 있는 업무에서는 이번 방식이 그대로 이식되지 않는다.

아직 확인되지 않은 것들

오픈AI가 공개한 두 소수 간격 논문에는 아직 답이 붙지 않은 항목이 최소 세 가지 남아 있다. 첫째, 두 결과의 동료 심사다. 두 논문 모두 오픈AI가 공개한 프리프린트 형태이며, 학술지 심사를 거친 상태로 제시되지 않았다. 짧은 간격 쪽은 조건부 형식화이므로 가정 부분에 대한 독립적 검토가 특히 남아 있다.

둘째, 탐색 비용이다. 오픈AI는 8월 1일 발표에서 난제 10건의 해답 탐색 토큰이 약 2,000달러어치였다고 밝힌 바 있으나, 이번 두 결과에 대해서는 발표문과 논문 어디에도 비용이나 소요 시간 수치가 제시되지 않았다. 실패한 시도의 규모도 공개되지 않았다.

셋째, 사람과 모델의 작업 분담이다. 초록은 증명이 모델의 것이라고 적었지만, 논문 원고의 작성과 문헌 정리, 형식화 파일의 구성에 사람이 어디까지 관여했는지는 이번 두 논문에 서술돼 있지 않다. 저자 표기를 모델 쪽으로 옮기는 형식이 앞으로 표준이 되려면 바로 이 경계에 대한 서술이 함께 따라와야 한다.

출처: 오픈AI 공식 발표문 'GPT-6 Astra: A new generation of intelligence'(2026년 9월 3일)의 각주 9·10, 논문 'Improved short gaps between primes'(2026년 8월 30일)과 'Improved long gaps between primes', 깃허브 저장소 openai/PrimeGaps186·openai/LongGapsBetweenPrimes 기반 ASAP 정리